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...YOU HAVE BEEN WARNED!!!...
Naja, Du hast es ja unbedingt so gewollt...
:
Diese Formel beweisen wir mit vollständiger Induktion über
k (was, Du weißt nicht, was das ist und hast Dich trotzdem
hergetraut? -Hau bloß ab!!!):
Induktionsvoraussetzung:
Die Induktionsannahme gilt für k = 1, denn
ist gerade die
Gleichung (1) (nur umsortiert).
Induktionsschritt:
Die Induktionsannahme sei für alle k <= x bewiesen;
zu zeigen ist, daß sie dann auch für k=x+1 gilt.
Nehmen wir also Gleichung (2), ersetzen
dort überall die Pk mit k <= x durch
die hierfür gültige Induktionsannahme und sortieren wir die Terme so um, daß das nicht
ersetzbare Pi+1 auf einer Seite allein stehen bleibt:
(Dabei haben wir die Laufvariable in v umbenennen müssen und gehen sinnvollerweise
davon aus, daß die Sterberate mü<>0 ist) -Kleinkram....
Wenn die Induktionsannahme zutreffen soll, dann muß dies identisch sein zum
direkt berechneten Ergebnis obiger Gleichung für Pi+1,
also (Laufvariablen wieder entsprechend umbenannt) zu...
Deshalb setzen wir diese beiden Teile probehalber gleich und zeigen, daß dies stimmt:
Kürzen von P0 und liefert:
Weiteres einfaches Auskürzen und Auflösen ergibt, daß die beiden Seiten
tatsächlich übereinstimmen, so daß der Schritt von x
nach x+1 damit korrekt war. Bingo!
Nun zur zweiten Formel:
Der Beweis geht mit Hilfe der gerade eben bewiesenen ersten Formel recht flott, denn
setzt man diese für alle Pi in (4) ein, dann ergibt sich gerade:
Auflösen dieser Gleichung nach P0 liefert schon fast, was wir
wollten:
-Nur, daß die Summe zunächst noch von 0..N läuft,
statt von 1..N.
Das ist aber schnell behoben, denn zieht man die Summe auseinander in die beiden Teile i=0
und i=1..N, so hat man für i=0 ein leeres Produkt, das mathematisch
ja gerade zu 1 definiert ist.
![P[k] = Produkt_i=0..k-1(lambda[i]/mu[i+1]*P[0])](bild19.gif)
:![P[1] = lambda[0]/mu[1]*P[0]](bild24.gif)
ist gerade die
Gleichung (1) (nur umsortiert).
![P[i+1] = ( (lambda[i]+mu[i])*Produkt_v=1..i(lambda[v-1]/mu[v])*P[0]
- lambda[i-1]*Produkt_v=1..i-1(lambda[v-1]/mu[v])*P[0] ) / mu[i+1]](bild25.gif)
![P[i+1] = Produkt_v=1..i+1(lambda[v-1]/mu[v])*P[0]](bild26.gif)
![( (lambda[i]+mu[i])*Produkt_v=1..i(lambda[v-1]/mu[v])*P[0]
- lambda[i-1]*Produkt_v=1..i-1(lambda[v-1]/mu[v])*P[0] ) / mu[i+1] =
Produkt_v=1..i+1(lambda[v-1]/mu[v])*P[0]](bild27.gif)
![Produkt_v=1..i-1(lambda[v-1]/mu[v])](bild28.gif)
liefert:![( (lambda[i]+mu[i])*lambda[i-1]/mu[i] - lambda[i-1] )/mu[i+1]
= lambda[i-1]/mu[i] * lambda[i]/mu[i+1]](bild29.gif)
![P[0] = 1/(Summe_i=1..N(Produkt_j=0..i-1(lambda[j]/mu[j+1])))](bild20.gif)
![1 = Summe_i=0..N(Produkt_j=1..i(lambda[j-1]/mu[j])*P[0])](bild30.gif)
![P[0] = 1/(Summe_i=0..N(Produkt_j=1..i(lambda[j-1]/mu[j])))](bild31.gif)
